Integrasjon
Integrasjon i matematikken handler mye om å finne arealer. Med det så menes arealet under en graf når den er tegnet i et koordinatsystem. Når vi integrerer en funksjon sier vi at vi finner integralet av funksjonen. Det finnes to ulike integraltyper. Det ubestemte integral og det bestemte integral.
Integrasjon har i likhet med derivasjon mange bruksområder. Eksempler kan finnes på siden som handler om kinematikk.
Riemannsum
Integrasjon handler om å finne arealet under en graf. I enkelte tilfeller hvor en graf danner enkle geometriske fugurer kan man enkelt finne arealet ved hjelp av vanlige geometriske beregninger.
Men ofte er ikke dette tilfelle, så da må man ta i bruk andre metoder. En måte å gjøre det på er å dele opp grafen i rektangler og summere disse. Dette gir en tilnærmet verdi for arealer. Hvis man øker antall rektangler blir arealet mer og mer nøyaktig.
Det å dele opp grafen og summere på denne måten kalles for en riemannsum, oppkalt etter Bernhard Riemann.
Her er funksjonen ||f(x) = x^2 + 1|| fra ||x=a=0|| til ||x=b=2|| tegnet inn i koordinatsystemet. For å finne arealet kan vi splitte opp x-intervallet i ||n|| antall deler og summere arealene av rektanglene som dannes. Hvis vi setter ||n=4|| så blir bredden på rektanglene:
$$ \Delta{x} = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2} $$
Hvis vi setter høyden til arealet å være lik verdien av funksjonen midt i intervallene så blir ||x_i||:
$$ x_i = i\Delta{x} - \frac{\Delta{x}}{2} = \frac{\Delta{x}(2i-1)}{2} $$
Arealet med ||n=4|| blir da:
\begin{align} A & = \Delta{x}f(x_1) + \Delta{x}f(x_2) + \Delta{x}f(x_3) + \Delta{x}f(x_4) \\ & = \Delta{x}(f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4)) \\ & = \frac{1}{2}(f(\frac{1}{4}) + f(\frac{3}{4}) + f(\frac{5}{4}) + f(\frac{7}{4})) \\ & = \frac{1}{2}(\frac{17}{16} + \frac{25}{16} + \frac{41}{16} + \frac{65}{16}) \\ & = 4.652 \end{align}
Dette gir en tilnærmet verdi for arealet under grafen. Hvis vi øker n så blir svaret mer nøyaktig. Ved å dra på slideren på figuren kan du se hvordan arealet endrer seg ved endring av ||n||. Det nøyaktige svaret er ||\frac{14}{3} \approx 4.6667||
Den er en matematiske måten å skrive et utrykk for denne summen på og det ser slik ut: $$ \sum\limits_{i=1}^n f(x_i)\Delta{x} $$ Hvis vi lar ||n|| gå mot uendelig så vil summen bli det nøyaktige arealet under grafen. Dette kalles å finne grenseverdien til utrykket og har en egen skrivemåte: $$ A = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n f(x_i)\Delta{x} $$
Grenseverdien til en slik riemanmsum er lik det bestemte integralet til en funksjon.
Det bestemte integralet
Det bestemte integralet til en funksjon er lik lik arealet området under grafen avgrenset av x verdiene ||a|| og ||b||. Skrivemåten for det bestemte integralet er: $$ A = \int_a^b \! f(x) \, dx. $$
Det ubestemte integralet
Det ubestemte integralet til en funksjon er en funksjon som har den egenskapen at hvis den deriveres så får man den opprinnelige funkjonen. Dette kalles også derfor den antideriverte til en funksjon.
Skrivemåten for det ubestemte integralet er: $$ \int \! f(x) \, dx. $$
Det ubestemte integralet resulterer ikke i en sum slik som det bestemte integralet, men resulterer i et nytt funksjonsutrykk.
Det finnes et fundamentalteorem som relaterer integresjon og derivasjon med hverandre. Dette teoremet kan forenkle løsningen av integrasjonsproblemer. Dette kalles analysens fundamentalteorem og det er delt i to deler.
Analysens første fundamentalteorem sier at hvis ||F(x)|| er definert på intervallet ||[a,b]|| og ||f(x)|| er kontinuerlik på intervallet ||[a,b]||: $$ F(x) = \int_a^x \! f(t) \, dt $$ Da er $$ F'(x) = f(x) $$ Analysens andre fundamentaltheorem sier at: $$ \int_a^b \! f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$