Derivasjon
Derivasjon handler om å finne vekstfarten til en funksjon. Det betyr å finne ut hvor fort verdien til en funksjon endrer seg i forhold til endringer i input verdien. Dette er en veldig nyttig teknikk som har mange bruksområder. Eksempler på bruk av derivasjon for å løse fysikkproblemer kan du lese mer om på siden som handler om kinematikk.
Lineære funksjoner
En lineær funksjon er en funksjon som danner en rett linje når den tegnes i et koordinatsystem. For slike funksjoner er det enkelt å finne den deriverte. Siden funksjonen er en rett linje så er stigningstallet konstant og den deriverte være lik stigningstallet til linjen.
Her er funksjonen ||f(x) = 2x|| tegnet inn i koordinatsystemet. Stigningstallet finner man ved å dele endringen i y-verdi på endringen i x-verdi. Siden den deriverte er lik stigningstallet så blir den deriverte av ||f(x)|| lik:
$$ f'(x) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{8-4}{4-2} = \frac{4}{2} = 2 $$Dette viser den enkleste derivasjonsformelen som sier at hvis man har en generell lineær funksjon av typen ||f(x)=ax + b||, hvor a og b er tall så er den deriverte ||f'(x) = a||
Ikke-lineære funksjoner
For funksjoner som ikke er en rett linje er det ikke like enkelt å funne den deriverte. Siden funksjonen ikke har et konstant stigningstall så kan man ikke finne den deriverte bare ved å ta ||\frac{\Delta y}{\Delta x}|| fra noen tilfeldige punkter på grafen. Den deriverte vil være avhengig av x-verdien og vi må derfor finne et utrykk for den deriverte som en funksjon av x.
Fremgangsmåten er ganske lik som for lineære funksjoner, men det krever litt mer regning. Først finner vi et utrykk for ||\Delta y||. ||\Delta y|| beskriver forskjellen mellom y-verdiene til en funksjon når x endres fra ||x_0|| til ||x_1||. Så hvis ||y_0 = f(x_0)|| og ||y_1 = f(x_1)|| så blir: $$ \Delta y = y_1 - y_0 = f(x_1) - f(x_0) $$ Endringen i x-verdi er: $$ \Delta x = x_1 - x_0 $$ Hvis vi bytter ut ||x_1|| i utrykket for ||\Delta y|| ved å snu på utrykket for ||\Delta x|| for vi: $$ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) $$
Vi kan nå finne stigningstallet for linjen mellom to punkter på grafen. Det er også vanlig å kalle ||\Delta x|| for ||h|| og ||x_1|| for bare ||x|| så: $$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$ Dette gir stigningstallet mellom to punkter, men dette er ikke nok for å finne stigningstallet for en bestemt x-verdi. For å finne det må vi benytte oss av grenseverdier. Vi lar ||h|| bli så liten som mulig. Når ||h|| blir mindre vil stigningstallet komme nærmere og næremere det nøyaktige stigningstallet i punktet for x-verdien ||x||.
Hvis vi har funksjonen ||f(x) = x^2|| og vil finne stigningstallet for ||x=2|| kan vi gjøre følgende utregninger:
| ||h|| | ||\frac{f(x+h) - f(x)}{h}|| | ||a|| |
|---|---|---|
| ||1|| | ||((2+1)^2 - 2^2)/1|| | 5 |
| ||0.1|| | ||((2+0.1)^2 - 2^2)/0.1|| | 4.1 |
| ||0.01|| | ||((2+0.01)^2 - 2^2)/0.01|| | 4.01 |
| ||0.001|| | ||((2+0.001)^2 - 2^2)/0.001|| | 4.001 |
Det ser ut til at stigningstallet nærmer seg 4 når ||h|| nærmer seg 0.
For å finne det nøyaktige svaret finner vi grenseverdien for utrykket ved å la ||h|| gå mot 0.
Det gjøres slik:
Vi ser at den deriverte av ||f(x)=x^2|| er ||f'(x) = 2x||
Det nøyaktige stigningstallet for ||x=2|| blir da:
$$ f'(2) = 2*2 = 4 $$Det kan vises at for funksjoner av typen ||f(x) = x^n|| så er den deriverte lik: $$ f'(x) = nx^{n-1} $$
Definisjonen av den deriverte
Grenseverdien som vi brukte over er også det som er definisjonen av den deriverte av en funksjon.
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$Hvis denne grenseverdien eksisterer for en verdi av ||x|| så betyr det at funksjonen er deriverbar i det punktet.
Denne grenseverdien kan fort bli ganske kompliser å finne. Så å bruke denne hver gang man skal finne den deriverte av en funksjon er veldig tungvindt. Heldigvis har andre gjort jobben før oss og det finnes en rekke formler for den deriverte av ulike funksjoner som gjør jobben mye enklere.
Bruksområder
Derivasjon kan bland annet brukes til å finne topp-punkter, bunn-punkter og vendepunkter til en funksjon.
Hvis ||f'(x) = 0|| og den deriverte også skifter fortegn på hver side av punktet så er punktet ett topp- eller bunnpunkt. Hvis man deriverer funksjonen to ganger og setter ||f''(x) = 0|| så kan man finne vendepunktet til funksjonen.
Derivasjon er også mye brukt innen fysikk. Du kan se noen eksempler på siden om kinematikk.